老潘家的潘老师

这是老潘曾经做过的某个大学笔试题，代码尽可能干净简练并且能够快速解决问题，比较值得记录并且研究。尤其是第二题，在方法的设计上，对于结果的约束需要一些技巧才行，无脑用绝对误差很难行得通。

这些题目没有标准答案和做法，这里只是抛砖引玉，欢迎进一步交流优化改进。

下面是题目和解决思路以及配套完整代码（链接：https://github.com/divertingPan/utility_room/blob/master/task_2022.ipynb）。

第一题

题目：构建一个自编码器，至少包含4个编码层。编码一个至少有500副自然图像的灰度图片，分辨率为600x600

其实这一个做法和很久之前的一篇文章基本一样（复习Pytorch的使用方法，在套路的基础上灵活应变），只不过这里的图像编解码前后，分辨率都比较大（要600x600）。所以在模型的选择上可能要做一些巧妙的处理。我选择使用了Unet结构的模型，虽说这样能够解出题目，但转念一想，这样做的话，如果想要取出编码之后的隐向量，单使用这个编码去还原图像就不太可行。因为在解码器解码过程中需要依赖中间同级的编码层信息。当然也可以把这几个中间层互传的信息也看做隐向量去处理。

做这个用的数据集我拿的是DIV2K，但是这个数据量实际上不大，做做toy example可以，想实用的话还是搞点大的数据集吧。

第二题

题目：从CIFAR10中取出1000副图像，之后给定一个图像对$x_1$和$x_2$，构建一个网络模型能够以他们的平均$\frac{x_1+x_2}{2}$作为输入，输出两个原始的图像

最开始用的MAE当损失函数，但是这样是有一点违反直觉的，因为不一定要限制左边分叉只能输出和第一个图接近的结果。换句话说就是，$x_1$和$x_2$输入网络之后，输出可以是$(x_1, x_2)$，也可以是$(x_2, x_1)$。所以说MAE没法做到这种能够交换顺序的衡量。并且，真的试了一下实验结果也不好：

这里img_1和img_2是两个输入，img_merge是融合的图像，pred_1和pred_2是两个预测结果。可以看到，模型仿佛在摆烂，只要我仍然输出均值图像，那这个输出就离两个目标都不算太远。其实这样想一下也是有原因的：如果求平均图像$x$的真实来源，可能是$(x_1, x_2)$或者$(x_2, x_1)$，结果对于同样的$x$，模型一会儿要预测成$(x_1, x_2)$一会要$(x_2, x_1)$，这自然是两个相反的方向，模型摆烂的确是趋于中庸的自然结果。

后来仔细思考了一下，决定施加一些专门的约束。

首先，顺承上面模型摆烂时候发生的情况，一对预测结果的大致位置至少要和真实情况的大致位置相差不大。也就是说，两个输出结果的均值，应该和两个真实图像的均值尽量一样。

反应在图上就是让两个中心点尽量靠近，让pred预测的中心点尽量接近实际的真值$x$。用式子表达的话，可以写成

$\operatorname{MAE}\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{pred_1+pred_2}{2}\right)$

就是两个输出的均值，和两个真实值的均值，看均值之间的距离。

第二，进一步，这个位置确定了，但是两个结果之间会有一定的距离，可以想作是，以上面说的那个均值点为中心，各自向两端的距离。这个距离，对于预测和真值也应该是一致的。

反应在图上就是让实线括号所指的距离，尽量接近虚线括号所指的距离。式子表达是

$| \operatorname{MAE}\left(x_1, x_2\right)-\operatorname{MAE}\left(pred_1, pred_2\right) |$

意思是，两个预测之间的距离，以及两个真实图之间的距离，看这两个距离之间差别多大，只关心绝对值不看正负号。

这时候很自然的会发现，两个样本点在空间上会有一个夹角。对于我们希望的情况应该是，这两个样本点连成的线应该平行。这样刚好对应了两个输出顺序可以不严格一致的情况。

反应在图上就是让两条线之间最小的夹角尽量小。这个可以用余弦相似度衡量，余弦相似度取值在$[-1, 1]$之间，两个向量同向平行是1，反向平行是-1，越垂直越趋向于0。从图上也可以看出来，具体的样本顺序是无所谓的，正好也符合前面所说过的。所以可以这样做损失函数

$1-\left|\operatorname{cossim}\left(x_1-x_2, pred_1-pred_2\right)\right|$

两个样本做差是求出他们之间连线的方向向量。取了余弦相似度的绝对值就是只看平行度，不看方向。用1做减是为了反向他，相当于最小这个式子的时候就是最大化余弦相似度。

这样就可以写代码了，损失函数loss就写成下面这种

loss_func = nn.L1Loss()
parallelism = torch.mean(1 - torch.abs(F.cosine_similarity((img_1-img_2).view(-1, 3*32*32), (pred_1-pred_2).view(-1, 3*32*32), dim=1)))
loss = torch.abs(loss_func(img_1, img_2) - loss_func(pred_1, pred_2)) + loss_func(0.5 * (pred_1 + pred_2), 0.5 * (img_1 + img_2)) + parallelism

在同样的训练次数下，模型显然有了更好的表现：